Prove that: $\frac{ an heta}{1 - \cot heta} + \frac{\cot heta}{1 - an heta} = 1 + \sec heta \cdot \csc heta$

Question

Prove that: $\frac{	an 	heta}{1 - \cot 	heta} + \frac{\cot 	heta}{1 - 	an 	heta} = 1 + \sec 	heta \cdot \csc 	heta$

Accepted Answer

Step 1: LHS $= \frac{\sin	heta/\cos	heta}{1 - \cos	heta/\sin	heta} + \frac{\cos	heta/\sin	heta}{1 - \sin	heta/\cos	heta} = \frac{\sin^2	heta}{\cos	heta(\sin	heta - \cos	heta)} + \frac{\cos^2	heta}{\sin	heta(\cos	heta - \sin	heta)}$
Step 2: $= \frac{\sin^2	heta}{\cos	heta(\sin	heta - \cos	heta)} - \frac{\cos^2	heta}{\sin	heta(\sin	heta - \cos	heta)} = \frac{\sin^3	heta - \cos^3	heta}{\sin	heta \cdot \cos	heta(\sin	heta - \cos	heta)}$
Step 3: $= \frac{(\sin	heta - \cos	heta)(\sin^2	heta + \sin	heta\cos	heta + \cos^2	heta)}{\sin	heta \cdot \cos	heta(\sin	heta - \cos	heta)} = \frac{1 + \sin	heta\cos	heta}{\sin	heta \cdot \cos	heta}$
Step 4: $= \frac{1}{\sin	heta\cos	heta} + 1 = 1 + \sec	heta \cdot \csc	heta$ = RHS

Question

Solution