Prove that: $\frac{ an heta}{1 - \cot heta} + \frac{\cot heta}{1 - an heta} = 1 + \sec heta\,\csc heta$

Question

Prove that: $\frac{	an	heta}{1 - \cot	heta} + \frac{\cot	heta}{1 - 	an	heta} = 1 + \sec	heta\,\csc	heta$

Accepted Answer

Step 1: LHS $= \frac{\frac{\sin	heta}{\cos	heta}}{1 - \frac{\cos	heta}{\sin	heta}} + \frac{\frac{\cos	heta}{\sin	heta}}{1 - \frac{\sin	heta}{\cos	heta}}$
Step 2: $= \frac{\sin	heta}{\cos	heta} 	imes \frac{\sin	heta}{\sin	heta - \cos	heta} + \frac{\cos	heta}{\sin	heta} 	imes \frac{\cos	heta}{\cos	heta - \sin	heta}$
$= \frac{1}{\sin	heta - \cos	heta}\left(\frac{\sin^2	heta}{\cos	heta} - \frac{\cos^2	heta}{\sin	heta}ight)$
Step 3: $= \frac{1}{\sin	heta - \cos	heta} 	imes \frac{\sin^3	heta - \cos^3	heta}{\sin	heta\cos	heta}$
$= \frac{(\sin	heta - \cos	heta)(\sin^2	heta + \cos^2	heta + \sin	heta\cos	heta)}{(\sin	heta - \cos	heta)\sin	heta\cos	heta}$
Step 4: $= \frac{1 + \sin	heta\cos	heta}{\sin	heta\cos	heta} = \frac{1}{\sin	heta\cos	heta} + 1 = 1 + \sec	heta\,\csc	heta$ $=$ RHS

Question

Solution